Dogru kaynak Dogru kaynak Video Dogru kaynak Dogru kaynak

Matematik 10. Sınıf polinom

dogrukaynak Ödev-Ders » Matematik » Matematik 10. Sınıf polinom
Hit : 1380
Tarih : 12 Ekim 2010 18:19
Yükleyen : Paylasimci
Oy Ver (1/749) :
Örnek


a) x4 + 5x2 - 7x + 6

Çözüm Dördüncü dereceden polinom.


b)x3 + + 4
x3 + + 4 = x3 + 3x-1 + 4 ifadesi polinom değildir. Çünkü -1 üssü doğal sayı değildir.

c)5x6 + + 1
5x6+ + 1= 5x6 + x1/2 + 1 ifadesi polinom değildir. Çünkü üssü doğal sayı değildir.

d)2x + 7
Birinci dereceden polinom.
e)x3 + x2 - 7x + 5

Üçüncü dereceden polinom.
P(x) = a , (a R) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun dercesi sıfırdır.
Örnek

P(x) = 4
Q(x) = Polinomları sabit polinomlardır.

Örnek

P(2x - 3) = x4 + 2x2 - x + 5 ise P(1) in değerini bulunuz.

Çözüm

2x - 3 = 1 => x = 2 yazılır.
P(4 - 3) = 16 + 8 - 2 + 5
P(1) = 24 + 3 = 27 bulunur.

Örnek

P(2x - 3) = 4x2 + 6x + 1 olduğuna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm

P(2x - 3) ifadesinden P(x) i elde etmek için fonksiyonlarda olduğu gibi x yerine 2x-3 ün tersi yazılır.
P(2x - 3) = 4x2 + 6x + 1
P(x) = 4 ()2 + 6 () + 1
P(x) = 4 . + 3(x + 3) + 1
P(x) = x2 + 6x + 9 +3x + 9 + 1
P(x) = x2 + 9x + 19 olur.
İKİ DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x , y) = 3x4y3 + 5x3y + 6x - 2y + 5 ifadesi x ve y ye göre yazılmış reel katsayılı polinomdur. Bu polinomda

3x4y3 terimin derecesi 3 + 4 = 7
5x3y terimin derecesi 3 + 1 = 4
6x terimin derecesi 1
- 2y terimin derecesi 1
5 terimin derecesi 0
P(x , y) polinomunun derecesi 7 dir.

Örnek

P(x , y) = 2x3y2 - x2y + 2y - x + 2
P(1 , 2) nin değerini bulunuz.
Çözüm

X = 1 , y = 2 yazılır.
P (1 , 2) = 2 . 1 . 4 - 1 . 2 + 2 . 2 - 1 + 2
P (1 , 2) = 8 - 2 + 4 + 1 = 11 bulunur
Örnek

X3 + 2x2 + 3x + 5 = (x2 + x + 1)(x + a) + bx+c
Eşitliğini sağlayan c kaçtır ?

Çözüm

X3 + 2x2 + 3x + 5 = x3 + ax2 + x2 + ax + x + a +bx + c
X3+ 2x + 3x + 5 = x3 + (a + 1)x2 + (a + b + 1)x +a +c
a+ 1 = 2 => a = 1
a + b + 1 = 3 => 1 + b + 1 = 3 => b = 1
a + c = 5 => 1 + c = 5 => c =4 olur.
KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an - 1 xn - 1 + ... + a0 polinomunda x = 1 yazılırsa
örnek
P(x) = (3x2 - 2x + 4).(x3 + 2x + 3) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.
Çözüm

X = 1 yazılır
P(1) = (3 - 2 + 4).(1 + 2 + 3)
= 5 . 6
= 30 bulunur.
Örnek

P(3x + 4) = 5x3 - 7x2 - 3x + 5
Polinomu veriliyor. P(x) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.

Çözüm

P(x) polinomunun katsayılar toplamı P(1) dir.
P(3x + 4) = p(1) => 3x + 4 = 1
X = - 1
P(3x + 4) polinomunda x = - 1 yazılırsa P(1) bulunur.
P(1) = 5(-1)3 - 7(-1)2 - 3(-1) + 5
= - 5 - 7 + 3 + 5
= - 4
polinomunda sabit terimi bulmak için x = 0 yazılır.
Örnek

P(2x + 4) = 3x2 - x + 7 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun sabit terimini bulunuz.
Çözüm

P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dır.
P(2x + 4) polinomunda 2x + 4 = 0 => x = -2 yazlılır.
P(0) = 3(-2)2 - (-2) + 7
P(0) = 12 + 2 +7 = 21 olur.
İki polinom toplanırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır.

Örnek

P(x) = 3x3 - 7x2 + 6x + 2
Q(x) = 2x3 + x2 - 7x + 5
Polinomlarının toplamını bulunuz.
Çözüm

P(x) + Q(x) = (3x3 - 7x2 + 6x + 2) + (2x3 + x2 - 7x + 5)
= (3 + 2)x3 + (-7 + 1)x2 + (6 - 7)x + (2 + 5)
= 5x3 - 6x2 - x + 7 olur.
iki polinomun çarpımı , P(x) in her terimi , Q(x) in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak yapılır.
Örnek

P(x) ve Q(x) iki polinomdur.
Q(x) = P(x2) . P(x3) ise Q(x) ´ in derecesi nedir?

Çözüm

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a0
P(x2) = an x2n + an-1 x2n-2 + ... + a0
P(x3) = an x3n + an-1 x3n-3 + ... +a0
Q(x) = P(x2) . P(x3)
Q(x) in derecesi 2n + 3n = 5n olur. 5 in katları olmalıdır.
ÖRNEK:

P(x) = 2x - 1
Q(x) = x3 + 3x2 + 2 polinomlarının çarpımını bulunuz.

ÇÖZÜM:

P(x).Q(x) = (2x - 1).(x3 + 3x2 + 2)

= 2x4 + 6x3 + 4x - x3 - 3x2 - 2

= 2x4 + 5x3 - 3x2 + 4x - 2

POLİNOMLARDA B**ME

P(x) in derecesi , Q(x) ´ in derecesinden küçük olmamak ve K(x) in derecesi B(x) in derecesinden küçük olmak üzere ;
P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Eşitliğini sağlayan B(x) polinomuna, P(x)in Q(x) e bölümü ve K(x) polinomuna da kalan denir.
Örnek

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x + 2 polinomunu
Q(x) = x2 + x +1 polinomuna bölerek bölümü ve kalanı bulunuz.






Çözüm

2x3 + 3x2 + 5x + 2 x2 + x + 1
2x3 2x2 2x 2x + 1
x2 + 3x + 2
x2 x 1
2x + 1
Bölüm = 2x + 1
Kalan = 2x + 1

Örnek

P(x) polinomu x + 3 ile bölündüğünde bölüm x2 + x + 2 ve kalan 7 ise P(x) polinomu nedir?

Çözüm

P(x) = (x + 3) (x2 + x + 2) + 7
P(x) = x3 + x2 + 2x + 3x2 + 3x + 6 + 7
P(x) = x3 + 4x2 + 5x + 13
Örnek

P(x) polinomunun x + 2 ile bölünmesinde bölüm Q(x) ve kalan 3 tür. Q(x) polinomunun x - 1 ile bölümündeki kalan 6 dır. Buna göre , P(x) ´ in (x2 + x - 2) ile bölünmesindeki kalan nedir?
Çözüm

P(x) = (x + 2) Q(x) + 3
Q(x) = (x - 1) . T(x) + 6 yazılır.
İlk eşitlikte Q(x) yerine ikinci eşitlik yazılır.
P(x) = (x + 2) + 3
= (x2 + x - 2) T(x) + 6x + 12 + 3
= (x2 + x - 2) T(x) + 6x + 15

Bölen Kalan
Kalan = 6x + 15 bulunur.

HORNER YÖNTEMİ
Bu yöntem , bölen polinom birinci dereceden bir polinom olduğunda kolaylık sağlar.


Örnek

P(x) = 3x3 - 5x2 + 2x + 4 polinomunu
Q(x) = x + 2 polinomuna bölerek bölüm ve kalanı bulunuz.







Çözüm

1)Böleni sıfır yapan x değeri bulunur.
x + 2 = 0 => x = - 2
2) Polinomun katsayıları aşşağıda görüldüğü gibi sıra ile (büyük dereceli terimden başlayarak) yazılır.


İlk terim olan 3 ile -2 nin çarpımı -5 in altına yazılır. -5 ile -6 toplanır. -2 ile -11 in çarpımı 2 nin altına yazılır. 2 ile 22 toplanır. -2 ile 24 çarpımı 4 ün altına yazılır ve toplanır. Son kalan sayı kalanı verir. Diğer sayılar bölümün katsayılarıdır.

Kalan = -44
Bölüm = 3x2 - 11x + 24 bulunur.
Örnek

P(x) = x4 + ax2 + bx + c polinomunun
(x - 1)3 ile tam bölünebilmesi için c kaç olmalıdır?
Çözüm


a + 6 = 0 => a = -6
2a + b + 4 = 0 => - 12 + b + 4 = 0 => b = 8
a + b + c + 1 = 0 => - 6 + 8 + c + 1 = 0
=> c = - 3

Örnek

P(x) = x4 + 3x2 + ax + 2 polinomu x - 1 İle tam bölünebildiğine göre x - 2 ile bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm

P(x) polinomu (x - 1) ile tam bölünebildiğine göre
P(1) = 0 dır.
P(1) = 1 + 3 + a + 2 = 0
a = - 6
P(x) = x4 + 3x2 - 6x + 2
P(2) = 16 + 12 - 12 + 2 = 18

Örnek

P(x) = 3x2 + 5x + m polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 8 ise m kaçtır?
Çözüm

x + 1 = 0 => x = -1
P(-1) = 8 dir.
P(-1) = 3 - 5 + m = 8
m = 10

Örnek

= x2 + x + 5 bağıntısı veriliyor. Q(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan 4 olduğuna P(7) nin değeri nedir?
Çözüm

Q(x) polinomu (x - 2) ile bölündüğünde kalan 4 olduğuna göre Q(2) = 4 tür.
= x2 + x + 5 eşitliğinde x yerine 2 yazılırsa ,
= 4 + 2 + 5 => = 11
=> P(7) = 44 olur.
Örnek

P(x) = x35 + 3x21 + x14 + 5
Polinomunun x7 + ile bölümünden elde edilen kalan nedir?
Çözüm

x7 + = 0 => x7 = - yazılır.
P(x) = (x7)5 + 3(x7)3 + (x7)2 + 5
Kalan = (-)5 + 3(-)3 + (-)2 + 5
= - - 3 + 8 + 2 +5
= - 4- 6 + 7
= 7 - 10 olur.

Örnek

P(x) = x3 + 3x2 + ax + b polinomunun x2 - x + 1 ile bölümünden kalanın 7x - 5 olması için a + b toplamı kaç olmalıdır?
Çözüm

x2 - x + 1 = 0 => x2 = x - 1 yazılır.
Ve elde edilecek kalan 7x - 5 e eşitlenir.
P(x) = x3 + 3x2 + ax + b
K(x) = x . x2 + 3(x - 1) + ax + b
K(x) = x(x - 1) + 3x - 3 + ax + b
K(x) = x2 - x + 3x - 3 + ax + b
K(x) = ax + 3x + b - 4
K(x) = (a + 3)x + b - 4
(a + 3)x + b - 4 = 7x - 5
a + 3 = 7 => a = 4
b - 4 = -5 => b = -1
a + b = 4 - 1 = 3 olur.




Örnek

P(x) ve Q(x) polinomlarının x + 2 ile bölümünden kalanlar sırayla 3 ve -2 olduğuna göre a nın hangi değeri için xP(x) + **(x) polinomu x + 2 ile tam olarak bölünür?
Çözüm

P(-2) = 3 ve Q(-2) = -2
XP(x) + **(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalanı bulmak için x = -2 yazılır ve sıfıra eşitlenir.
-2P(-2) + **(-2) = 0
ð -2 . 3 + a . (-2) = 0
ð -6 - 2a = 0
ð a = - 3 bulunur.

Örnek

= x2 + x + 5 bağıntısı veriliyor. Q(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan 4 olduğuna P(7) nin değeri nedir?
Çözüm

Q(x) polinomu (x - 2) ile bölündüğünde kalan 4 olduğuna göre Q(2) = 4 tür.
= x2 + x + 5 eşitliğinde x yerine 2 yazılırsa ,
= 4 + 2 + 5 => = 11
=> P(7) = 44 olur.
BİR POLİNOMUN (xn + a) İLE B**ÜMÜNDEKİ KALANIN BULUNMASI

P(x) polinomunda xn yerine -a yazılarak , bu polinomun (xn + a) ile bölümündeki kalan bulunur.

Örnek

P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1 polinomunun x2 + 1 ile bölümündeki kalan nedir?
Çözüm

x2 = -1 yazılır
P(x) = x2 . x + 3x2 + 2x + 1
K(x) = - x - 3 + 2x + 1
K(x) = x - 2


NOT

P(x) polinomunun (ax + b)3 ile tam bölünebilmesi için P(x) ve P”(x) türev polinomlarının da (ax + b) ile tam bölünmesi gerekir.
P(x) = (ax + b)3 . B(x)
P(x) = 3a (ax + b)2 B(x) + (ax + b)3 B(x)
P(- ) = 0 olur.
Aynı şekilde P”(x) (ikinci türev) polinomununda (ax + b) ile tam bölündüğü gösterilir.
Örnek

P(x) = x4 + ax2 + bx + c polinomunun (x + 1)3 ile bölünebilmesi için c kaç olmalıdır?
Çözüm

P(x) = x4 + ax2 + bx + c
P(x) = 4x3 + 2ax + b
P”(x) = 12x2 + 2a
P”(-1) = 12 + 2a = 0 => a = - 6
P(-1) = - 4 - 2a + b = 0 => - 4 + 12 + b = 0 => b = - 8
P(-1) = 1 + a - b + c = 0 => 1 - 6 + 8 + c = 0
c = - 3 olur .


Örnek:
N kaçP(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3ün bölenleri olmalıdır.
3ün bölenleri ise 2 olması gerekir. O halde bu 0 den n n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 - 2x4 y3 + xy + x - y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve ynin dereceler toplamının en büyüğüdür.
P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve ynin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x, y) = 2x2y4 - 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 - 3x2 + 4x - 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 - 3.22 + 4.2 - 2
= 8 - 12 + 8 - 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 - 3.02 + 4.0 - 2 = - 2 bulunur.
P(1) = 13 - 3.12 + 4.1 - 2
= 1 - 3 + 4 - 2 = 0 bulunur.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n - 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n - 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.
Örnek
P(x) = (a - 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A - 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a - 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır.
Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

Örnek
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 - 3x2 - (2c - 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d
= 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b - 1)x3 - 3x2 - (2c - 3)x + olduğundan;
5 = b - 1,A(x) = B(x) a + 1 = -3, 0 = -(2c - 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.
Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)i bulmak için P(x)de x yerine x-1i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 - 2x + 1 + 2x - 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
h -2 = xi yerine yazalım.H = x + 2
P(h - 2 + 2) = (h - 2)3 - 2(h - 2)2 + 4
P(h) = (h - 2)3 - 2(h - 2)2 + 4
P(x) = (x - 2)3 - 2(x - 2)2 + 4 bulunur.




 »matematik etkinlikleri, »matematik fraktallar, »benim eserim egzersiz matematik, »matematik, »matematik us, »matematik makaleleri, »2010 2011 7 SINIF MÜZİK YILLIK PLANI, »10 sınıf coğrafya topografya ve kayaçlar videolu ders anlatımı, »Geliştiren Matematik, »tarıh dersı 10 sınıf taşra ve eyalet yönetımı anlat,

Yorumlar

Adınız :

E-Mail Adresiniz :

Yorumunuz :

Yorum yapılmamış.